Posted By: Ped (Ultimate adventurer MM345) on 'CZphilosophy'
Title:     Re: TEORIA MNOZIN (kedze som sa to teraz ucil)
Date:      Tue Dec 17 12:23:26 1996

Cafte Ludia. :)
 (a Lumo)

Kedze teoriu mnozin (resp. uvod do nej) som mal prave v tomto semestri, 
citim sa opravneny aspon ciastocne opravit drobne kozmeticke chybicky 
Lumovho postu, ale berte ma s rezervou, pisomku som mal napisanu na 11/20 
(7 bodov som stratil za nestandartny zapis :)))))
> petiprvkove mnoziny je pet - respektive neco, co je stejne u vsech mnozin 
> stejne mohutnych. Pocet prvku mnoziny prirozenych cisel je "omega" - takovym
My sme to znacili "Alef nula" -> prve pismeno hebrejske (ci akej) abecedy.
(konecne som pochopil preco som rasista. (pozrite sa, ako sa Alef nula 
pise) :)))
> to odpovida tomu, ze realne cislo lze zapsat desetinnym rozvojem. Mohutnost 
> mnoziny realnych cisel (obecneji "kontinua") je tedy "dve na omega". 
"dve na Alef nula" tym padom u nas :) a to je "kontinuum" co sa pisalo 
tzv. gotickym c (vyzera to ako obycajne male c, ale cez neho je jedna 
ciarka, asi tak, ako je preciarknuty dolar na klavesnici.
 Mimochodom mnozina, ktora ma mohutnost kontinuum je "nespocetna".
> Pak vam axiomy teorie mnozin zaruci, ze kardinalni cisla (tj. mozne "pocty 
> prvku") lze srovnat - o kazdych dvou lze rici, jestli jsou stejna, pripadne 
 NOOO, ano, da sa to, ale aby som bol presny, tak my sme najprv 
zadefinovali kedy je mohutnost mnoziny A >= (<=) ako mohutnost mnoziny B, 
a az potom z tohto vztahu sme odvodili, ze kedy sa mohutnosti rovnaju (ak 
plati aj <=,>=) a az ptoom sme odvodili ostru nerovnost, ktoru dokonca si 
teraz ani presne nepametam, ze ako sme ju odvadzali, ale ziadna 
trivialita, iba jednoduche ... :)
(to len tak pre poriadok) A samozrejme sto bolo vsetko zalozene na 
zobrazeniach (ako pises dalej)
> Jestlize maji dve mnoziny stejnou mohutnost, existuje proste zobrazeni na
> obe strany.
Co mimochodom znamena, ze Existuje bijekcia medzi A b. (proste + NA)
(na 90% som si isty, ze som netrepol blbost, ale predsa, pozor na mna)
> Cili za kardinalem "omega" hned tak neco neni. Kdyz hledame neco vetsiho, 
viz kardinalna matematika: Alef0 + laef0 = alef0. alef0 + 0 = alef0
-> lub. n patri N -> Alef0 +n = Alef0 { 0<= n < Alef0 }
> Ovsem zpetne proste zobrazeni neexistuje - tj. realnych cisel z <0,1) je
> vice 
> nez prirozenych cisel. Jinymi slovy, je jich "nespocetne mnoho". To se ukaze
> jednoduchym "diagonalnim" dukazem, ktery asi pochazi od Cantora:
Trafil si sa, je to Cantorova diagonala, velmi oblubena metoda.
> Predpokladejme, ze vsechna realna cisla z <0,1) lze jednoznacne priradit 
> prirozenym cislum. Tj. lze ocislovat realna cisla. Na kazdou radku (poradi 
> radky je to prirozene cislo) napiseme jedno realne cislo z <0,1), napr.
> 0:   0,02352305852... (tuto radku dostante nahoru nasobnym stiskem enteru)
> 1:   0.86293659238... (budete ji potrebovat)
> 2:   0.31415926535...  
> 3:   0.31289561891...
> 4:   0.12488169696...
> 5:   0.96120300123...
>    atd.
> 
> Pro libovolne takove ocislovani realnych cisel lze najit cislo, ktere urcite
> neni na zadne radce: ziskame ho tak, ze z prvni radky vezmeme prvni decimalu
> (0), z dalsi druhou (6) (z 0.86...), z dalsi treti (4) atd. Ziskame 
> posloupnost 064883... ted staci kazdou cislici zmenit (napriklad pricist k
> ni 
> jedna modulo deset) - a dostaneme 0,175994... coz je cislo, ktere se nemuze 
> shodovat s zadnym cislem na radkach - protoze s kazdym se neshoduje aspon v 
> jedne cislici - tak jsme ho ziskali.
 Mala drobnost, niektore cisla nemaju jednoznacny zapis v desiatkovej 
sustave (0.9 periodickych je rovne 1.0 !!!)
 co vsak nemeni nic na pointe veci.(to len tak pre info.)
> Tedy mohutnost realnych cisel je vetsi nez prirozenych. Napada nas
> jednoducha 
> otazka - zda je jeste nejaka mohutnost mezi temito dvema mohutnostmi.
> Veskere 
> snahy o dukaz byly neuspesne - veskere snahy o dukaz opaku byly take 
> neuspesne. A nebylo to nahodou - lidem se nakonec podarilo ukazat, ze ani 
> jedna z techto variant z ostatnich axiomu teorie mnozin neplyne (takove veci
> delal a snad dela Petr Vopenka, nemohu to nerici). ;-) 
 Mno, ono nam ani nejak extra cosi "medzi" nechybalo, pretoze mnoziny 
boli vzdy spocetne, alebo negacia -> nespocetne... :))) A kedze sme 
nemali definovane nic "medzi" spocetnostou / nespocetnostou, bol by 
problem aj def. akusi konstantu ... (tot moj IMHO ! :)
> prirozenych cisel a "spocetnych objektu" - a uz dukaz o existenci nespocetne
> mnoziny pokladam spise za jakousi hricku se spocetnymi objekty.
IMHO: ten dokaz je ok. cize Excistuje nespocetna mnozina, napr. R. A R 
nie su teda len prirodzene cisla a teda nie su len hrackov spocetnych 
mnozin, aj ked najst "realnu" nespocetnu mnozinu, ktoru by si mohol 
obycajny clovek "osahat" by bol asi dost problem (totiz prirodzenych 
cisel je nekonecne vela, takze nie je problem aplikovat na vsetko realne 
akesi zobrazenie do prirodzenych cisel, aj ked kto vie, ja som iba 
novacik v tomto smere)
(myslim, ze mame dost podobny nazor ??... asi hej)
> To samozrejme nic nemeni na tom, ze mnoziny nespocetne (z hlediska teorie 
> mnozin) hraji ve fyzice apod. jeste zasadnejsi ulohu nez spocetne. Ale jaksi
> si myslim, ze vsechny vety o realnych cislech apod. v sobe obsahuji jen
> jaksi 
> zakodovany system tvrzeni o prirozenych cislech a algoritmech s nimi (ovsem 
> opravdu mnoho takovych vet najednou, protoze ta realna cisla lze 
> reprezentovat mnoha zpusoby) - a ze kazdy jiny nazor vychazi jen z toho, ze 
> realna cisla zname jeste z jedne oblasti ideji: z realneho zivota nasich 
> smyslovych zazitku. :-) 
 mmmm... zaujimavy nazor. Aj ked sa trochu lisi od mojej predstavy. (ja 
to mam akosi oddelene, pocetne su pre mna len podskupinou nespocetnych a 
vlastne stale pracujem s nespocetnymi (resp. ich podskupinou), ak som Ta 
dobre pochopil, tak ty to mas nepresne povedane naopak ... :)
 Dakujem, ze som mohol trochu "zamlzit" ... Majte sa krasne. :)
Your Mr.PED / 7 GODS demo group member. ALWAYS served COOL ! (deRATized RAT)

Search the boards