Posted By: pluma (Pluma from Brno) on 'CZriddles'
Title:     Re: O kostkach - fakt _stoji_ za to!
Date:      Thu Nov  5 19:20:57 1998

> Nepodarilo se mi prijit na to, jestli muze takto fungovat jenom jedna kostka
> oproti jedne normalni. Pokud mi to nekdo dokaze vysvetlit, budu moc rad...

V takovem pripade ta kostka nemuze byt vyhravajici:
oznacme a[i] pravdepodobnosti ze na kostce padne i (i=1..6)
F znaci kolik padne na falesne kostce
N znaci kolik padne na normalni kostce

Vime ze:

celkova prst. je 100%:
a[1] + ... + a[6] = 1                    (1)

stredni hodnota je 3.5:
a[1] + 2*a[2] + ... + 6*a[6] = 3.5       (2)

Nyni si spocteme:

P(v jednom kole hry bude ramiza) =
  = P(F=N) =
  = (1/6)*a[1] + ... + (1/6)*a[6] =
  = (1/6)*(a[1] + ... + a[6]) =  (podle (1))
  = 1/6*1 = 6/36
coz vychazi stejne jako v situaci s dvema normalnima kostkama

P(vyhraje falesna kostka) =
  = P(na falesne padne vic) =
  = P(F>N) =
  = P(N=1 and F>=2) + P(N=2 and F>=3) + ... + P(N=5 and F>=6) =
  = P(N=1) * P(F>=2) + ... + P(N=5) * P(F>=6) =
  = (1/6) * (a[2]+...+a[6]) + ... + (1/6) * (a[6]) =
  = (1/6) * (1*a[2] + 2*a[3] + ... + 5*a[6]) = (podle rozdilu (2) a (1))
  = (1/6) * (3.5 - 1) = 15/36
coz vychazi taky stejne jako u dvou normalnich kostek

Shrnuto:
pri jednom hodu je pravdepodobnost vitezstvi, remizy a tedy i prohry stejna 
jako v situaci s dvema normalnima kostkama, takze tato kostka nemuze byt 
vyhravajici

pluma