Posted By: Pavel_J (Pavel_J) on 'CZriddles'
Title:     Re: Trocha matematiky v minach
Date:      Thu Nov 26 15:10:01 1998

(Varovani : v tomto postu pisu matematicke uvahy, ktere sice nejsou obtizne, 
ale jsou neprehledne zapsane. Jestli Vam to vadi, nectete to.) 

> . . ? . .
> * 7 * 6 *
> * * * * *
> 
> Kde 7,6 znaci kolik min je v okoli, "*" znaci minu a "." neodkryte policko.
> (pro rejpaly dodatecny predpoklad, ze "*" jsou odkryty spravne).
>                                                                         _
> Nemuzu se rozhodnout, co je spravne:-(, ale nejvetsi sanci davam P(A)=0,6.
> 
> Upozornuji, ze se neptam na pravdepodobnost z urciteho uhlu pohledu

Co to je pravdepodobnost z urciteho uhlu pohledu ?

> , ani na 
> pravdepodobnost, ze kdyz neco odkryji, bude to takhle a takhle. Proste chci 
> P(A) tak, jak to lezi napsano:-)...
> 
> Any comments?
> 
> snake 

Nejprve mi, prosim, dovolte zavest oznaceni:
Nazveme jevem A jev ,,V okoli policka vlevo uprostred je 7 min a soucasne v 
okoli policka vpravo uprostred je 6 min.'' 
Nazveme jevem B1 jev ,,horni radka je **--*'', 
podobne jev B2= **-*-
            B3= *-*--
            B4= -**--
(Ty jevy znacim tak, aby se dobre dosazovaly do Bayernsovy vety.) 
Nazveme jevem J jev ,,B3 nebo B4''. Uloha zni zjistit P(J). 

Podle meho nazoru by byla hruba chyba, kdyz bych se snazil vyresit ulohu, aniz 
bych vychazel z tzv. apriorni~ch pravde~podobnosti~, cili pravdepodobnosti, 
ktere maji jevy Bi, (i=1 az 4), predtim, nez se dozvim, ze nastal jev A. 
Napriklad pokud na ctverci o 30 x 30 polickach rozmistite 20 min, bude ta 
hledana pravdepodobnost mensi, nez kdyz na stejnem poli rozmistite 500 min.
 
Oznacme P(Bi) pravdepodobnost, kterou jev Bi ma PREDTIM, nez se dozvime, 
ze nastal jev A, a P(Bi|A) pnost, kterou jev Bi ma POTOM, co se to dozvime - a 
totez nejen pro jevy Bi, ale pro jakykoliv jev. (Rika se tomu podminena 
pravdepodobnost a neni na tom nic slozityho, akorat nemam dar vyjadrovat se 
strucne a srozumitelne.) 

A zde uz vidim, ze jsem napsal blbost. My se neptame na P(J), ale na P(J|A).

Na to nepotrebujete ani znat Bayernsovu vetu (mimochodem je to jeji velmi 
specialni pripad, takze na to asi existuje jina veta), na to staci selsky 
rozum :
P(J|A)=(P(B3)+P(B4))/(P(B1)+P(B2)+P(B3)+P(B4))

Ale jak spocitat apriorni pravdepodobnost ? To, co tady napisu, bude velmi 
nepresne priblizeni. Kdo neni liny, snadno vymysli lepsi :
Necht m je pocet jeste neodhalenych min, necht v je pocet jeste neodkrytych 
policek. Samozrejme predpokladam, ze tyto hodnoty zname. Predpokladejme, ze 
jevy ,,na prvni pozici je mina'', ..., ,,na pate pozici je mina'' jsou 
nezavisle. Oni sice nejsou, ale uz jsem rekl - muzete si s tim pohrat, 
jestli chcete. (Mluvim o pozicich v horni radce, beru to zleva.) 

Pak pravdepodobnost, ze na urcitem policku je mina je rovna m/v. (Z 
matematickeho hlediska to neni dokonale presne - abych to skutecne mohl 
tvrdit, potom bych musel predpokladat, ze pro libovolnou dvojici P1 P2 
neodkrytych policek na celem hernim poli jsou jevy ,,Na P1 je mina'' a ,,na 
P2 je mina'' nezavisle. Jeste lepsi by bylo rict, ze pravdepodobnosti jsou 
stejne, nez ze jsou nezavisle.)

Potom P(B1)=P(B2)= (m/v)^3*(1-m/v)^2; P(B3)=P(B4)=(m/v)^2*(1-m/v)^3. A 
P(J|A) spocitate vyse uvedenym zpusobem.

Abych zduraznil, ze muj vypocet P(Bi) je nepresny, predstavte si treba 
situaci, kdy vam zbyva odhalit uz jen m=2 min a neodkrytych policek je treba 
(to je jedno) v=20, cili 5 v horni radce toho obrazku v zadani a 15 jinych. 
Potom P(B1) bude nulova, ale muj vypocet da nenulovou hodnotu.

Kdyz jsem pouzival porad vyraz ,,predpokladejme ze'', tak to vlastne znamena, 
ze vyuzivam znalost, ze pocitac rozmistuje miny nahodne. Pokud resitel tuto 
znalost nema, anebo mu zadavatel neprozradi hodnoty m a v, potom - o tom 
jsem presvedcen - je uloha stejne podzadana, jako ,,urcete objem valce, ktery 
ma vysku 30 cm.

Pavel J. 

Search the boards