Posted By: LubosMotl (* Lumo King Superstring *) on 'CZscience'
Title: Re: Pavouk k entropii
Date: Fri Jan 5 18:44:49 1996
Cau entropiste!
Dekuji Pavoukovi za rozsahlou prednasku o entropii. Konecne vidim, ze muze
odpovidat i nekdo jiny! Zkusim par komentaru:
>
> Entropii S soustavy jakozto miry usporadanosti muzeme obecne vyjadrit
> vztahem
> S=k . ln(F)
> kde F je objem ve fazovem prostoru
>
K tomuhle bych rekl, ze logaritmovat lze pouze BEZROZMERNE cislo, cili objem
F je treba vydelit vhodnou konstantou: pod zornym uhlem kvantove statisticke
fyziky, je dobre vydelit F vhodnou mocninou (velke) Plnckovy konstanty h:
S = k . ln (F/h^{3n})
Ovsem klasicka fyzika nesmi zaviset na nejake konstante 'h', protoze je
limitou h -> 0. Tomu koresponduje to, ze zmenou h se logaritmus zmeni jen o
aditivni konstantu; to je proste vysvetleni, proc v klasicke fyzice je
entropie urcena 'az na aditivni kostantu'. Kvantove je mozne urcit entropii
zcela jednoznacne.
> Popisme si ted jak vypada konkretne situace s dvema plyny.
> Necht n je pocet "modrych" i "cervenych" atomu umistenych...
Pavouku, stale se nemohu zbavit nazoru, ze v klasicke fyzice jsou nutne A
PRIORI vsechny atomy rozlisitelne, takze tech 'barev' je nutne 2n (ohromne
cislo!) nehlede na to, zda reknes, ze jsou modre vsechny nebo jen pulka.
Proto nadale zastavam nazor, ze podle klasicke fyziky je jedno, zda jsou v
obou pulkach uplne stejne atomy nebo jen 'podobne izotopy'. Zadne ohrati zde
nebude. Presto ted budu spolu s tebou mluvit o nerozlisitelnych casticich
i v klasicke fyzice.
>
> ...Pro zmenu entropie tedy dostaneme
> dS=S2-S1=k (2n .ln(2))
Pavouku, kdyz jsem si to precetl podruhe, tak se mne zacalo zdat, ze to, co
jsi predvedl, je tzv. Gibbsuv paradox nebo jak se tomu rika: vsimni si toho,
ze tvuj jednoduchy a presvedcivy argument o vzrustu entropie lze ucinit i za
predpokladu, ze stena mezi pulkami nadob je jenom MYSLENA!!! Ovsem celkova
entropie soustavy samozrejme NESMI zaviset na tom, jestli tam dame nebo
nedame nejakou MYSLENOU stenu.
Reseni (jestli me mozek nesali) se udela tak, ze entropie se redefinuje tak,
jako by castice byly nerozlisitelne. (Over si, ze tohle MUSIS udelat, pokud
chces rikat, ze v jedne pulce maji vsechny atomy stejnou barvu.) Tj.
S = k . ln (F/n!), pridal jsem 1/n!. (pracuji s h=1 jednotkami)
Jinymi slovy, fazovy objem obsahuje vzdy n! navzajem ekvivalentnich bloku,
ktere jsou fyzikalne ekvivalentni (protoze rikame, ze vsechny castice maji
touz barvu, dostaneme jednu z druhe permutaci souradnic), a z techto n! musime
vzdy vzit jenom jednu.
Podle Stirlingovy formule je pro velka n: n!=sqrt(2.pi.n).(n/e)^n cca
tj. ln n!=n.(ln n-1)= cca. n.ln n.
Dusledkem toho je moje (redefinovana) entropie vuce tve mensi o k.n.ln n.
Soucet entropii mam mensi o 2k.n.ln n nez ty, entropii po zruseni steny
mam o k.2n.ln(2n)=2k.n.ln n + 2k.n.ln 2 mensi nez ty, coz je presne, o kolik
ty rikas, ze vzrostla. Tedy mne vysla entropie stejna, pokud jsou vsechny
nerozlisitelne (ve Stirlingove limite).
Pokud je obarvime dvema ruznymi barvami, pak po zruseni steny bude ne
S = (ne!) k. ln(F/(2n)!), ale jen S=k.ln(F/(n!)^2), coz je opravdu
vetsi nez puvodni entropie o tebou zminovanych 2k.n.ln2. Cili z matematickeho
hlediska souhlasim:
a) pokud jsou vsechny 'stejne', entropie nezavisi na myslene stene
b) pokud jsou v pulce stejne a v druhe jine, ale vzajemne stejne, vzroste
entropie o 2kn.ln2.
> 2n 2n 2 2n 2
> F2=(2V) /(2 ). B = V .B
>
Tady jsi mozna rikal to, co ja, ale nevim, proc misto n! jsi uzil jakousi
mocninu dvou...
Ale jinak se zaverem souhlasim: (!)
> dS=S2-S1=0
> coz je souladu s experimentem. Vidime, ze entropii tak jak se zavadi
> ve statisticke fyzice, bez principu nerozlisitelnosti zcela konzistentne
> nelze zavest. Je mozno rici, ze statisticka fyzika ani termodynamika nejsou
> redukovatelne na Newtonovskou fyziku. Pokud ovsem budeme brat princip
> nerozlisitelnosti (jako jeden z dusledku kvantovky) v uvahu, vystacime
> v rade pripadu s klasickou fyzikou.
>
Tak hezky jasne jsi to rekl memu uchu jako prvni, diky! Souhlasim a zkusim to
rici jeste jinak: v klasicke fyzice ma principialne smysl sledovat
trajektorii kazdeho atomu zvlaste a proto musi byt vsechny castice
rozlisitelne. Pak ale vubec nemohou vzniknout zadne 'mnoziny ekvivalentnich
stavu', protoze kazdy stav (atom Petr vlevo a Pavel vpravo... resp. naopak)
je ruzny - a proto take v takove 'ryze rozlisitelne' fyzice nemohou
vzniknout zadne termodynamicke jevy. Entropii tedy zavest ciste klasicky a
konzistentne nelze, nicmene se stejne shodneme, ze nejake predpovedi bychom
meli umet i v ciste klas. teorii, ne?
> Plati tedy ze k ohrivani dochazi prave kvuli barve.
> Dusledkem toho je, ze tim ze si priroda vymysli nejaky naboj(barvu)
> zvysuje entropii.
>
Jeste bych ale radil se znovu podivat na to, zda to vzdy vede k ohrati (ac
tomu verim)...
Diky Pavouku!
Lumo
///// Superstring theory is the language in which God wrote the world.
/// O __ Your Lumo ;-) motl@menza.mff.cuni.cz
///
///_______/ http://www.ms.mff.cuni.cz/acad/webik/~lmot2220/czlumwin.html
Mozna az jednoho velekrasneho dne - 32.unora 1996 - stane se vule bozi...