Posted By: Pavouk (Pavouk) on 'CZscience'
Title: Pavoukova QM pro zacatecniky
Date: Wed Jan 10 14:59:02 1996
Zdravim vsechny hloubajici vedce!
Zajima vas kvantova teorie?
Pak je tu Pavoukova kvantova teorie pro zacatecniky.
Ukazu vam, jak je mozno bez slozite matematiky dostat
nektere kvalitativni vysledky QM.
Pro Luma bych chtel poznamenat, ze nasledujici rovnice jsou
kvalitativni, tj. ne zcela rigorozni, nicmene fyzika, ktera
je za tim schovana neni ohrozena.
1) relace neurcitosti a atom vodiku
Ukazeme si jak je mozno dostat z relaci neurcitosti reseni
pro atom vodiku
a) kvantovy tlak
Heisenbergovy relace neurcitosti nam rikaji ze
I) dx . dp > h
neboli pro jakesi prumerne hodnoty x,p x.p=h
To znamena, ze budeme-li se snazit stlacit kvantovou castici
do maleho objemu bude se zvetsovat mozna hybnost castice, ktera
bude pusobit proti smeru stlaceni. Kinetickou energii castice
si muzeme vyjadrit E=p^2/2m, s pouzitim relace neurcitosti
II) E= h^2/(2m.x^2) = h^2/2m. V^(-2/3)
Vime, ze tlak je derivace energie podle objemu, tj. dostaneme
III) p= h^2/(3m.x^5) = h^2/3m. V^(-5/3)
Toto je tlak, jenz pusobi proti smeru stlacovani castice do
objemu V, a jehoz puvod je ciste kvantovy.
b) Atom vodiku
Mame-li atom vodiku pak pritazlivy potencial elektronu a jadra je
-e^2/x, celkova energie je tedy souctem "pritazlive" elektrostaticke
a "odpudive" kvantove energie, tj.
IV) E=-e^2 /x + h^2/(2m.x^2)
Pro x=(h/e)^2 /m = Bohruv polomer nabyva energie minima a sice
V) E=-m .e^4/2/(h^2)= 1 Rydberg
Vidime, ze jsme dostali jedny ze zakladnich vysledku kvantove
mechaniky ciste kvalitativnimi uvahami aniz jsme museli resit
nejakou Schrodingerovu rovnici.
Bohruv polomer nam predstavuje zakladni delkovou jednotku pro
velikost atomu. Molekuly pak budou mit velikost v nasobcich teto
veliciny. Energie 1 Rydberg zase predstavuje typickou velikost vazbove
konstanty.
Obdobnou uvahou dostaneme tzv. jaderny bohruv polomer
a=(h/g)^2/M a jadernou Rydbergovu konstantu M.g^4/h^2, kde
M je tentokrat hmotnost nukleonu a g charakterizuje pritazlivou
interakci podobne jako e.
2) Princip nerozlisitelnosti a stlacitelnost pevne latky
Zde si ukazeme jak je mozno z principu nerozlisitelnosti
dostat typickou hodnotu pro modul pruznosti
a) pricip nerozlisitelnosti a nej plynouci vylucovaci princip
Princip nerozlisitelnosti nam rika, ze castice s antisymetrickou
vlnovou funkci (tj. fermiony) nemohou byt ve stejnem stavu.
To znamena, ze je-li v objemu V n castic, nemohou jej sdilet
dohromady, ale na kazdou ho pripadne pouze V/n.
Pro kvantovy tlak muzeme potom psat
VI) p= h^2/3m .(V/n)^(-5/3)
Vidime, ze kdyby neexistovali zadne interakce, hmota by se vlivem
kvantoveho tlaku rozprskla po celem vesmiru.
b) stlacitelnost kovu
Mame-li nejaky kov pak tento je tvoren kladne nabitymi
ionty mezi nimiz jsou rozptyleny elektrony, jimz v tomto pripade
rikame elektronovy plyn. V kovu proti sobe pusobi elektrostaticka
pritazlivost iontu a elektronu a kvantovy tlak souboru elektronu.
Pokud se tyto protichudne procesy vyrovnaji dostane se latka do
rovnovahy. Kvantovy tlak souboru iontu, ktere mohou byt take
fermiony je vzhledem k jejich hmotnosti zanedbatelny.
Modul stlacitelnosti je jak vime derivace energie podle
objemu neboli je to protitlak pusobici proti stlaceni. Jelikoz
elektrostaticka energie je umerna 1/x a kvantova kineticka
energie jak bylo uvedene vyse je umerna 1/x^2 bude k derivaci
prispivat hlavne derivace kineticke energie a tento protitlak
bude dan priblizne velikosti kvantoveho tlaku, tj. jak je
uvedeno v VI). Vezmeme-li si jako priklad sodik jako jeden z
nejjednodussich kovu, jehoz mrizkova konstanta je 0.42 .10^-10
mohu spocitat objem pripadajici na jeden atom. Na jeden atom
pripada 1 elektron avsak s dvema ruznymi spiny a tedy kdyz
tento objem vydelim jeste dvema (nebot dva ruzne fermiony,
napr. dva elektrony s ruznymi spiny jiz mohou sdilet spolecny
objem) dostanu objem pripadajici na volny elektron a dle rovnice
VI tak dostanu (pokud jsem to tady dobre spocital) pro kvantovy
tlak asi p=0.77. 10^10 J/m^3. Podivame-li se do tabulek dostaneme
hodnotu asi o 20% mensi, neboli vidime, ze kvalitativni odhad
vysel dobre.
Je videt, jak se mohou zakladni principy QM snadno pouzit
ke kvalitativnim vypoctum aniz bychom museli pristoupit
ke hledani nejakych vlastnich funkci, atd. Relace neurcitosti
jsou velice mocny nastroj a mnohokrat jej v kvantovce muzeme
pouzit k odhadnuti radove velikosti nejruznejsich efektu.
Vratime-li se jeste ke kineticke energii castice uveznene v
objemu o polomeru x K=h^2/(2.m.x^2) a budeme-li predpokladat,
ze k celkove energii castice prispiva prevazne kineticka
tj. E=K a zaroven pouzijeme E=m.c^2 dostaneme tak priblizne
m=(h/c)/x
Odtud vidime, ze obecne v cim mensim objemu, je castice uveznena
tim vetsi musi byt jeji hmotnost, coz je v souladu s experimenty.
Takovychto vypovedi si kazdy muze snadno provest celou radu
a muze tak dostat odpovedi na otazky proc je co jak velke? atd.
Na zaver bych se zminil jeste o jednom dusledku QM.
Videli jsme, ze QM umoznuje aby existovala hmota a nezhroutila
se. Diky vlnovemu charakteru elektronu vznikaji stojate vlny,
cimz mohou i v jinak symetrickem prostredi vznikat ruzne tvary
techto stojatych vln (neco jako Lissajousovy obrazce). Tyto
pak maji na svedomi vznik tvaru zprostredkovane i na vyssi urovni
jako jsou tvary krystalu, molekul a nakonec treba i kvetu.
Existence tvaru nema v klasicke fyzice zadne zvlastni oduvodneni,
za pestrost sveta kolem nas vdecime kvantovce.
Tak a tady vidite na co vsechno je QM dobra.
Pavouk