Posted By: Lumo (** Lumidek **) on 'CZscience'
Title:     Spin elektronu
Date:      Tue Feb  4 15:07:24 1997

Ahoj lidi,

v zajmu predejduti nedorozumenim, pokusim se dat kratkou lekci spinu castice v 
kvantove mechanice. Budte pripraveni na prekvapiva tvrzeni, ale je to tak. ;-)

Nejlidovejsi predstava spinu je setrvacnik, rotace kolem osy. Tato predstava 
je chybna temer ve vsem, nicmene v jedne zasadni veci je zcela spravne: spin 
castic je zcela obycejnou soucasti celkoveho momentu hybnosti: pokud budete 
strilet same pravotocive elektrony (nebo treba fotony) smerem k volne 
poletujicimu setrvacniku, po urcite (dlouhe) dobe se vam opravdu roztoci.

Spin je tedy cast momentu hybnosti, je to tedy vektor. Pripomenme, ze 
pouzivame konvenci "pravidla prave ruky", tj. napriklad pohybujici se rucicka 
u hodinek ma moment hybnosti smerem dolu do hodinek.

Pro velke makroskopicke objekty se spin chova temer klasicky. Nejmensi mozna 
(kladna) hodnota spinu je hbar/2 (hbar je skrtle h tj. 1.054.10^{-34} Js).
Velke objekty vsak maji spin mnohokrat vetsi nez je tato zakladni jednotka, 
proto lze celkovy moment hybnosti velkych objektu povazovat za klasicky 
vektor. 

My ale chceme tu zajimavejsi, kvantovou cast celeho pribehu. Zacneme u 
elektronu. Elektron ma spin j=1/2. Co to znamena? Znamena to pokazde, ze 
prumet spinu na libovolnou osu (mluvme zatim vzdy o ose z) je nektera z hodnot 
-j az j (krok 1), vse v jednotkach hbar. 

Samotna hodnota j nam rika, jak je dlouhy cely vektor J. Druha mocnina delky 
vektoru je jak znamo J^2 = J_x^2 + J_y^2 + J_z^2 a tento operator nabyva v 
kvantove mechanice prave hodnot j(j+1).hbar^2, kde j je spin systemu, coz je 
cislo z mnoziny 0,1/2,1,3/2... atd. 

Tj. z-ova projekce spinu elektronu muze byt -1/2 nebo 1/2, rikame, ze "spin 
ukazuje nahoru" nebo "spin ukazuje dolu". 

Ted asi (zcasti pravem) namitnete, ze volba osy z byla nahodna a ze na teto 
volbe nesmi byt fyzika zavisla. Samozrejme, mate pravdu. Jaka je treba 
projekce spinu smerem na osu y, kdyz projekce na osu z je "nahoru"?

Jiste ocekavate, ze prumerne by mela byt nula. Ale verme nejprve, ze projekce 
spinu na kazdou osu je -1/2 nebo +1/2. Cili ocekavame, ze projekce na osu y 
budou obe stejne pravdepodobne. 

Pravdepodobnost je vec, ktera vec spasi. :-) Klasicky vzdy musime rici, ze 
castice ma polohu x a hybnost p, respektive presne zadany spin.

Ale kvantovy popis je jiny: pro kazdou konfiguraci uplne mnoziny velicin - 
mluvime jen o spinu (pridani polohy apod. je trivialni) - musime zadat tzv. 
amplitudu pravdepodobnosti pro ruzne mozne hodnoty. 

Co je to ta amplituda pravdepodobnosti? To je komplexni cislo a druha mocnina 
jeho absolutni hodnoty nam dava pravdepodobnost, ze je system v danem stavu.

NYNI MAME DVE AMPLITUDY PRAVDEPODOBNOSTI (komplexni cisla) U,D (dohromady se 
jim rika spinor). |U|^2 je pravdepodobnost, ze elektron ma spin nahoru,  
podobne |D|^2 je pravdepodobnost, ze ma spin dolu (-1/2 vzhledem k ose z).

Vtip je v tom, ze tato dve komplexni cisla lze transformovat na jina dve 
komplexni cisla, ktera popisuji amplitudy vzhledem k jine ose, zcela 
analogicky, jako lze prepocitat tri realna cisla tvorici vektor na jina tri 
realna cisla, urcujici souradnice vektoru v jine soustave os.

Ted ale misto tri realnych mame dve komplexni cisla. Jak je tedy 
transformovat? K tomu slouzi tzv. Pauliho matice. Jen reknu, ze kdyz rotujeme 
kolem osy z, |U|^2 a |D|^2 se nam nesmi zmenit, tj. nesmi se zmenit absolutni 
hodnoty, tj. U a D mohou zmenit nejvyse fazi. (Nechci vam motat hlavu, ale 
fakt, ze rotace tri os se da znazornit pomoci nejakych transformaci dvou 
komplexnich cisel, je tvrzenim o stejnosti grup SO(3) a SU(2)/Z_2.) 

Pri rotaci o uhel fi kolem z se nasobi U komplexni fazi exp(i.fi/2), zatimco 
D se nasobi exp(-i.fi/2). Jiste jste si vsimli, ze pri rotaci o 2.pi se zmeni 
znamenko jak U tak D. Ano, je to tak, rotace o 360 stupnu kolem kterekoliv 
osy nevrati amplitudy elektronu na puvodni hodnoty, ale zmeni jim znamenko.

Tohle se samozrejme neprojevi na fyzice, protoze pravdepodobnosti jsou dany 
az ctvercem absolutni hodnoty, ktery se zmenou znamenka neovlivni.

Kdyz rotujeme rekneme o uhel fi kolem osy y (a rotace kolem y,z nam staci na 
libovolnou rotaci), U a D se zmeni podle

   U(nove) =  cos(fi/2) U(stare) + sin(fi/2) D(stare)
   D(nove) = -sin(fi/2) U(stare) + cos(fi/2) D(stare)

Opet vidite, ze rotace o 360 stupnu zmeni znamenko U a D. Take muzete lehce 
overit, ze celkova pravdepodobnost |U|^2+|D|^2 zustane zachovana (napr. 1). 
Celkove, i kdyz jste mne treba nerozumeli, vezte, ze projekce spinu elektronu 
na kazdou osu muze byt jen -1/2 nebo 1/2, protoze v kvantove mechanice je stav 
popsan dvema komplexnimi cisly (pro kazdou projekci jedno), ktere lze 
pretransformovat do jine soustavy souradnic. 

      /////  Superstring/M-theory is the language in which God wrote the world.
    /// O __        Your Lumidek.  mailto:lmot2220@menza.mff.cuni.cz
   ///           ---------------------------------------------------
  ///_______/             http://www.kolej.mff.cuni.cz/~lumo/
The most incomprehensible thing about the world is that it's comprehensible. AE
-------------------------------------------------------------------------------

Search the boards