Posted By: zdenek (zdenek) on 'CZscience'
Title:     re: Kochova fn.
Date:      Wed Mar 19 15:09:50 1997

Cau lidicky,
sice nevim, co je to Kochova fce, ale mohu dat navod, jak sestrojit
spojitou fci, ktera nema nikde derivaci.
Asi takto:
Pro n=0,1,.. dejinujeme fci f_n(x)=x*10^n pro x z int. <0,(10^-2n)*1/2>.
Tuto fci rozsirime na sudou, tedy f(-x):=f(x) a periodickou f_n(x+10^-2n):=
:=f_n(x). Proste funkci slozenou z usecek o smernicich +-10^n.
Vypada asi takto:
                       ////////
je spojita, jeji nejmensi hodnota je 0 a nejvetsi (10^-n)*1/2.
Nyni polozme f(x):=suma{n=1..nekonecno}f_n(x).
Tato rada konverguje stejnomerne v R (protoze abs(f_n(x)) =< (10^-n)*1/2,
tedy f(x) je SPOJITA !
Nyni se jiz jen overi, ze pro libovolne x_0 z R plati:
Pro jakkoli male D a jakkoli velke K (kladne, konecne) existuji body x_1 a x_2
tak, ze abs(x_1-x_0) < D ; (f(x_1)-f(x_0))/(x_1-x_0) > K ;
        abs(x_2-x_0) < D ; (f(x_2)-f(x-0))/(x_2-x_0) < -K .
Tim bude dokazano, ze pro kazde konecne K je
        lim sup x->x_0  (f(x)-f(x_0))/(x-x_0) >= K ;
        lim inf x->x_0  (f(x)-f(x_0))/(x-x_0) =< -K , jinymi slovy, 
ze NEEXISTUJE DERIVACE v x_0.
To overeni neni tezke, ale technicky narocne, uz tyto vyrazy mi daly 
pekne zabrat, kdo by mel zajem o precizni dokonceni, at mi napise.
                                                      Zdenek
                                              `work hard, play hard'