Posted By: Lumo (** Lumidek **) on 'CZscience' Title: Setkani s antirelativistou Date: Tue Jun 10 09:49:43 1997 Setkani s antirelativistou ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ Vcera, v pondeli 9.6.1997, jsem se nahodou ucastnil zajimave akce na Katedre teoreticke fyziky, u ktere byli pritomni mimo jine doc. Langer, J.Fikacek, kolega matematik-doktorand Sir a hlavne jeden ucinkujici slovenske narodnosti, jehoz jmeno jsem bohuzel nejak nezaznamenal (dodatecne jsem zjistil, ze se jmenuje Bolc~o)... Rikejme mu Trebla (pozpatku Albert). ;-) Trebla ohromoval pritomne ohromnou a nevycerpatelnou davkou energie, sebevedomi ve vystupovani a schopnosti nenechat se zastavit. Na zacatku ukazal jakasi dve regularni linearni zobrazeni, jejichz kompozici ziskal neregularni zobrazeni. :-) Bohuzel tento vysledek s potencialnim dramatickym dopadem nejen na fyziku, ale i na matematiku, jsem bohuzel jeste nevidel. :-) Pote ale odvozoval jakymsi zajimavym zpusobem Lorentzovy transformace. Jeho tok myslenek jsem pak sel kontrolovat s tim, ze takove elementarni trivialni priklady snad musime umet resit levou zadni. Budu se snazit konzistentne formulovat to, co jsme dnes mohli slyset jen v ramci chaosu, pri kterem se kladl duraz na hlasitost projevu a zesmesnovani osobnosti vedeckeho sveta. Treblovy-Lorentzovy transformace ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ Uvazujme vztaznou soustavu spojenou s kolejnici (osa x). V bode x0 od pocatku kolejnice (mereno v teto soustave) vyjel v case t=0 zadek vlaku o delce l (mereno v soustave kolejnice) rychlosti v. V case t tedy byl predek vlaku v pozici x3, ktera lze znazornit jako soucet tri casti: |------------------------------|-------------|-------------------| 0 x0 x0+vt x0+vt+l Pravy usek predstavuje delku vlaku l v case t, prostredni usek drahu zadku vlaku ujetou od casu 0 do casu t. Problemy nastaly az kdyz se Trebla snazil nakreslit podobny obrazek ve vztazne soustave vlaku. Trebla byl s obrazkem rychle hotov: nakreslil podobne tri useky a akorat o kazdem z nich rekl, ze je nejak jednoduse preskalovan, pokud si dobre pamatuji, dokonce tvrdil, ze vsechny useky jsou jen vynasobeny sqrt(1-v^2/c^2). Na muj dotaz, ktere udalosti do nacrtku zaznamenal, odpovedel, ze zadne udalosti nepotrebuje, ze mu staci geometricky obrazek. :-) Kdyz jsem mu pak chtel vysvetlit, ze v druhem obrazku nakreslil vedle sebe udalosti, ktere probehly z hlediska vlaku v rozdilne okamziky - a ze tedy mezi nejakymi polohami merenymi v uplne jine okamziky neplati zadne jednoduche vztahy ala kontrakce delek - a kdyz jsem mu vysvetloval, ze soucasnost znamena neco jineho v soustave vlaku nez v soustave koleji, pozadal doc. Langera o to, aby mne vzali diplom. :-) J.Fikacek si pocinal moudre, ujistoval Treblu, ze nemusi tolik kricet, protoze pokud rika pravdu, tak ta si nakonec cestu najde. :-) Soustava vlaku ^^^^^^^^^^^^^^ Podivejme se tedy na situaci z hlediska vlaku. Naladme cas tak, aby bod x=0, t=0 (pocatek kolejnic v nulovem case) byl i v soustave vlaku x'=0, t'=0. Pak muzeme normalne ukazat pomoci Lorentzovy transformace, jake budou souradnice udalosti v soustave vlaku. Udalost, kdy zadek vlaku v t=0 vyjel z bodu x0, se odehraje v soustave vlaku v poloze x0'=x0/sqrt(1-v^2/c^2). Neni pravda, jak Trebla rikal, ze odmocnina bude v citateli (takovych chybek tam bylo ale mnoho). Ovsem neodehraje se v nulovem case, ale uz drive, v case t0'=-v.x0/(c^2.sqrt(1-v^2/c^2)) (viz appendix), ktery plyne z Lorentzovy transformace. Vsimnete si, ze c^2t^2-x^2 je rovno v obou soustavach -x0^2. To neni nahoda, Lorentzova transformace zachovava tento invariant. Laik muze namitnout, ze to, ze x0' je vetsi nez x0, protireci kontrakci delek: usek kolejnice x0 by se mel jevit v soustave vlaku kratsi. Ale takovy laik nema pravdu: to, co se kontrahuje faktorem sqrt(1-v^2/c^2), je delka predmetu merena tak, ze na oba konce ukazeme v jeden okamzik podle aktualni soustavy! Ovsem v soustave vlaku vyjede konec vlaku z bodu "x0" uz v case -vx0/(c^2.sqrt(1-v^2/c^2)). V teto soustave vlak stoji a kolejnice se pohybuje doleva rychlosti v. Za danou dobu tedy ujede dany bod "x0" kolejnic vzdalenost v^2.x0/(c^2.sqrt(1-v^2/c^2)) smerem doleva. V soustave vlaku v case t'=0 tedy bude tento bod kolejnic v bode x0/sqrt(1-v^2/c^2) - v^2.x0/(c^2.sqrt(1-v^2/c^2)), coz je rovno x0.sqrt(1-v^2/c^2), plne ve shode s tim, ze usek x0 kolejnic se jevi v soustave vlaku zkracen obvyklym faktorem! Prostredni usek z prvniho obrazku, znazornujici drahu, kterou zadek vlaku ujel za cas t, vubec v druhem obrazku nebude, protoze v soustave vlaku vlak stoji. :-) (Tohle Trebla take jaksi prehledl :-), ale zdaleka se neda rici, ze je to jedina zasadni chyba.) Celkem bude stat po dobu t.sqrt(1-v^2/c^2), ponevadz cas t vnimany v soustave kolejnic je dilatovany obvyklym faktorem. Posledni usek, zobrazujici delku vlaku l, bude mit v soustave vlaku delku vetsi, l/sqrt(1-v^2/c^2) (v soustave kolejnic se totiz pozoruje kontrahovana delka). Je vsak treba jeste zapocitat dalsi deficit casu (opet jako u prepoctu x0, viz appendix): udalosti na krajich vlaku, ktere probehly v soustave kolejnic najednou, probehnou v soustave vlaku nejdrive vepredu vlaku, a to o v.l/(c^2.sqrt(1-v^2/c^2) drive. Celkove, v soustave kolejnic dojel predek vlaku na konec tretiho useku v case t3=t a souradnice je x3=x0+vt+l. Tato udalost v soustave vlaku nastane v case t3'=-v.x0/(c^2.sqrt(1-v^2/c^2))+t.sqrt(1-v^2/c^2)-v.l/(c^2.sqrt(1-v^2/c^2)) (soucet nedilatovaneho vlastniho casu jizdy a casu, ktery udava, o kolik se casove lisi dve udalosti, ktere jsou v jine soustave soucasne, viz appendix) a souradnice teto udalosti bude x3'=x0/sqrt(1-v^2/c^2)+l/sqrt(1-v^2/c^2) - jako soucet transformovaneho useku kolejnic a nekontrahovane klidove delky vlaku. Kazdy si muze lehce overit, ze pak plati standardni vztahy pro Lorentzovu specialni transformaci (pro x3,t3,x3',t3') x'=(x-vt)/sqrt(1-v^2/c^2) a t'=(t-vx/c^2)/sqrt(1-v^2/c^2) nebo receno zpetne x=(x'+vt')/sqrt(1-v^2/c^2) a t=(t+vx'/c^2)/sqrt(1-v^2/c^2). Vidime, ze nedochazi vubec k zadnym problemum. Appendix A. Mira nesoucasnosti udalosti. ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ Pri vypoctu jsme dvakrat pouzili, ze pokud probehnou v soustave kolejnic dve udalosti vzdalene o x0 resp. l (rikejme jen l) v jeden okamzik, tak v soustave vlaku, ktery se pohybuje vuci kolejim rychlosti v doprava, probehne tato udalost drive na predku vlaku (vice vpravo), a to o cas v.l/(c^2/sqrt(1-v^2/c^2)). Tohle plyne z Lorentzovy transformace t'=(t-vx/c^2)/sqrt(1-v^2/c^2), ovsem ukazme, jak to plyne z postulatu teorie relativity. Rozdelme vzdalenost l (merenou v soustave kolejnic) na dve poloviny l/2. Vysleme ze stredu v jeden okamzik svetelne signaly na obe strany useku l. Z hlediska klidove soustavy tohoto useku l (kolejnic), oba svetelne paprsky dorazi v jeden okamzik (duvodem je symetrie). Ovsem z hlediska vlaku se usek l kolejnic pohybuje rychlosti v doleva, ale podle postulatu se pohybuji oba paprsky v teto soustave stale rychlosti c. Proto pravy okraj useku l jede vstric svemu paprsku a narazi na neho drive nez levy okraj useku l, ktery se pred svym paprskem snazi unikat. Muzeme celkem lehce spocitat i casovy rozdil. Paprsek letici doprava leti rychlosti c, pravy okraj useku l (ktery ze soustavy vlaku ma kontrahovanou delku l/sqrt(1-v^2/c^2)) se pohybuje vstric rychlosti v. Proto rychlost zkracovani jejich vzdalenosti je c+v. (Tohle neni jejich vzajemna rychlost merena v jedne ze soustav - ta je rovna c! ale pouze tempo zmensovani vzdalenosti vuci jine soustave.) Proto bude doletnuti paprsku trvat l/(2.sqrt(1-v^2/c^2)) / (c+v). Podobne u leveho okraje, kde je rychlost priblizovani c-v (okraj unika), je ta doba l/(2.sqrt(1-v^2/c^2)) / (c-v). Prostym odectenim ziskame vysledek: na pravem okraji nastane udalost drive o vl/(c^2.sqrt(1-v^2/c^2)). Amen. Zaver ^^^^^ Doc.Langer udajne takovych geniu v zivote poslouchal jiz ke stovce. :-) Skoda jen, ze tohoto temperamentniho cloveka nedokazeme zapojit do fyziky, kde by mozna mohl odvest velke mnozstvi skvele prace. ///// Superstring/M-theory is the language in which God wrote the world. /// O __ Your Lumidek. mailto:motl@karlin.mff.cuni.cz /// --------------------------------------------------- ///_______/ http://www.kolej.mff.cuni.cz/~lumo/ Mazte zbytecne casti replikovanych postu. Uzijte hmat CTRL/K pro smazani radky! -------------------------------------------------------------------------------