Posted By: Petrik (Petrik) on 'CZscience'
Title:     Nedokazatelnost
Date:      Mon Jun 12 18:44:59 2000

> Pokud pouzivame jazyk 3. radu (? - proste ten, kde je ekvivalence), tak v 
> libovolne teorii existuje dokazatelne tvrzeni jehoz negace je take 
> dokazatelna.

No Medvede, to snad nemyslis vazne. ;-) Hromada radoby chytre znejicich 
formulaci o "jazyce 3.radu", a pritom reknes takovou IMHO velkou botu.

Jestlize mas jakykoliv jazyk, system axiomu nebo rikej si tomu jakkoliv, v 
nemz naleznes vyrok A, ktery lze dokazat, a zaroven vyvratit (tomu se 
obycejne rika "spor", vnitrni rozpor nebo inkonzistence), potom je tenhle 
system axiomu, logika, jazyk inkonzistentni, uplne nesmyslny, lze v nem 
dokazat uplne cokoliv a nema absolutne zadnou hodnotu. Zadny system axiomu 
uzivany v matematice (ale pokud mozno ani jinde, kde jde o racionalni 
uvazovani) takovy neni a nesmi byt. Kdyz neco dokazes, v konzistentnim systemu 
to znamena, ze to musi byt pravda - a pak tedy nemuze byt pravda opak, a 
tudiz opak nemuze jit dokazat. Kdyz nemas dost dukazu (treba u soudu), muze 
se stat, ze neco pravdiveho nebudes moci dokazat, ale spravnemu soudu (a 
konzistentnimu systemu axiomu) se nikdy nestane, ze dokaze neco nepravdiveho. 

Kdyz mne das onen jazyk, kde lze dokazat vyrok A i non A, mohu dokazat cokoliv 
(sporem). Treba dokazu, ze nejsi medved, ale kacer. Predpokladejme, ze nejsi 
kacer. Potom, jak lehce dokazu, plati A. Ale take lehce dokazu non A, coz je 
spor - a proto jsi kacer. Zvolil jsem si k dukazu pravdive tvrzeni, ale stejne 
tak jsem mohl dokazat nepravdive tvrzeni, ze kacer nejsi. :-) 

Goedelova prvni veta je o tom, ze lze zkonstruovat (zcela vyumelkovany a z 
hlediska uzitecnosti zcela bezvyznamny) vyrok, ktery nelze ani dokazat, ani 
vyvratit. Takovy vyrok rika velmi zakodovanym a slozitym zpusobem "jsem 
nedokazatelny v zvolenem systemu axiomu". Pochopitelne, ze pokud je system 
axiomu konzistentni (a ne jako ty Tvoje), zmineny vyrok v nem nelze dokazat, 
ani vyvratit: kdyby sel dokazat, musel by byt pravdivy - a protoze rika, ze je 
nedokazatelny, musel by byt zaroven nedokazatelny, coz je spor s predpokladem, 
ze jde dokazat. Kdyby naopak sel vyvratit, potom by byla pravdiva jeho negace
- tedy ze je dokazatelny, ale pokud je vyvratitelny i dokazatelny, musi byt 
pravdivy i nepravdivy, coz je opet spor. Zaroven jsem tim neformalne (jazykem 
vyssi urovne) dokazal, ze ten vyrok opravdu je pravdivy, tj. nedokazatelny v 
"nizsim" jazyce; obecne se samozrejme ocekava, ze jakakoliv smysluplna veta 
(jako treba velka Fermatova) lze bud dokazat, nebo vyvratit (jen jedno z 
toho), uzitim adekvatnich nastroju. Goedeluv prvni teorem je vlastne jen o 
existenci slovnich hricek - rika, ze se korektni teorie musi vyporadat s 
paradoxem vety "tato veta je nepravdiva", o jejiz pravdivosti nelze nic rici, 
je ztelesnenym sporem. 

V matematice samozrejme je plno systemu, kde urcite veci nelze dokazat, 
protoze jsou jaksi neuplne. Napriklad "axiom vyberu" nelze dokazat ze zbylych, 
a protoze se muzeme lisit v intuici, zda tento vyrok o nekonecnych mnozinach 
(ktere primo "experimentalne" nelze testovat) je pravdivy, nebo nikoliv, 
muzeme a nemusime ho pridat do sveho systemu axiomu. Kdyz axiom vyberu 
pridame, OK, hezke, ale potom muzeme dokazat existenci nemeritelnych mnozin. 
Kdyz ho nepridame, muzeme misto nej pridat axiom, ze vsechny mnoziny jsou 
meritelne, aniz bychom dospeli ke sporu. Ale fatalni je, ze NIKDY se nesmi 
stat, ze urcitou vec lze dokazat i vyvratit, protoze by to svedcilo o 
totalnim rozsypani myslenkoveho systemu. 

Je dost tristni, kdyz se logika uci takovym zpusobem, ze z toho plynou 
vysledky ve stylu "Vis co je to logika? Mas akvarium? Tak jsi teplej", ktere 
se (zcela chybne) uzivaji k obhajobe ducharskych nesmyslu.

http://come.to/lumo/

Search the boards